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徐帆老师讲材上的论文讲解了一继续讲到:“上述论文看似可以明出圆锥体的体积公式,其实还是有个非常大的漏洞。因为没有办法可以明两个几体的平面所截,如果截得的两个截面的面积都相等。关于能不用微积分的初等方法得到圆锥的体积,我认为是不可能的。微积分是高等数学的识范畴,老师简单给大家推导一,不理解也没有关系,大家可以死记这个圆锥体的体积公式,等上了大学,学习了微积分,自然就可以推导出来。”
想象中将一个面积为S的圆锥体沿着高h意垂直切割一个平面,将圆锥分成小圆锥和圆台两部分,假设圆锥体的这个切面圆形的面积为Si,小圆锥的高为hi。那么截面高和截面径成正比可以得出Si/S=(hi/h)2。
所以Si就等于S(hi/h)2。
V=微分(0-h)S(hi/h)2dhi=S/(h2)微分(0-h)hi2dhi=1/3h3S/(h2)=1/3Sh。
“微积分对大家来讲现在还过奥,它是一种高等数学中极限的想。我换一种极限的方法给同学们明应该会有所帮助。”徐帆老师觉这么讲过难理解,于是换了一种明方式。
众所,圆柱的体积公式是pir2h,我们可以运用极限的想,将圆锥从上到下均分成n个圆柱,其中从上到下个圆柱的高相等,径为等差数。
我们看从上到下第i个圆柱,它的高就是圆锥高的1/n,径就是圆锥径的i/n,所以其体积为:
Vi=pi(ir/n)2h/n=(pii2r2h)/n3
当圆柱的个数趋于无穷,所有圆柱体积的和就会趋于圆锥的体积。圆锥的体积V就是:
lim(0--){V}=和(1-n){Vi}=(pir2h)/n3+(4pir2h)/h3+(9pir2h)/n3+……
+(n2pir2h)/n3分母相同,分子中含有公因式(pir2h),上式可以化简为(pir2h)(1+4+9+……+n2)/n3由自然数平方和公式可将上式化简为:
和(1-n){n(n+1)(2n+1)/6}(pir2h)/n3=(pir2h)(2n3+3n2+n)/6n3
=(pir2h)(1/3+1/2n+1/6n2)由于n趋于无穷,所以1/2n和1/6n2趋于0,所以上式可以化简为1/3(pir2h)也就是1/3Sh。
至此,我们得到了圆锥体积公式V=1/3Sh。。
徐帆老师这节课讲得非常细致,因为这个识点设计到高等数学的部分,很多同学都没大能够听懂,苏宇航也不怎么理解,他使用平板电脑把徐帆老师讲解的一个骤都记录了下来,不懂得他决定学家问问爸爸妈妈。
总是下课了,随着下课铃声的响起,课间活动时间到了,但是这个课间要广播体操,所以同学们很快来到操场上合了。班长谢晓珊挥着同学们排着齐的对。同学们不一会聚拢到一起,不一会又扩散了开来。聚拢的时候同学们挨着,苏宇航不由得闻到女同学秀发上香波的香气,陶醉的不能自己。扩散开来,大家踏着齐的伐,不时的有些同学跟不上拍子,互相之间手着手,碰到女孩子的手,苏宇航触电一分离开来。眼健操的时候,苏宇航偷偷看着自己前面的女孩正好是陶娇娇,心里的滋味提有多欢快。跟着广播的节奏,苏宇航一边操一边欣赏着陶娇娇优的身线,盼中时间如果能够定格那该有多好呀。